Nombre mystère et diviseurs premiers - Corrigé

Énoncé

Quels sont les diviseurs premiers du nombre \(47000...00\) , sachant que le nombre de zéros après \(47\) est inconnu (mais il y a au moins un zéro) ?

Solution

Notons \(n\) le nombre de zéros après \(47\) . 
Comme il y a au moins un zéro après  \(47\) , on sait que  \(n \geqslant 1\) .

On a : \(47000...00=47 \times 10^n=47 \times (2 \times 5)^n=2^n \times 5^n \times 47\)  avec \(2\) ; \(5\) et \(47\) qui sont premiers.

Par unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers, les diviseurs premiers du nombre \(47000...00\) sont \(2\) ; \(5\) et \(47\) .